一、引言
　　DFT(離散傅里葉變換)作為將信號從時域轉換到頻域的基本運算，在各種數字信號處理中起著核心作用，其快速算法FFT(快速傅里葉變換)在無線通信、語音識別、圖像處理和頻譜分析等領域有著廣泛的應用。用大規(guī)模集成電路FPGA(現場可編程門陣列)來實現FFT算法時，需要重點考慮的不再是算法運算量，而是算法的復雜性、規(guī)整性和模塊化，因為算法的簡單性和規(guī)整性將更適合大規(guī)模集成，更方便于版圖設計，而算法的模塊化更有利于FFT處理器的靈活擴展。組合數FFT算法和CORDIC(坐標旋轉數字計算機)算法結合起來，在計算長點數、可擴展FFT時具有較大的優(yōu)越性^{［1，2］}。而面向高速、大容量數據流的FFT的實時處理，可以通過VLSI(超大規(guī)模集成電路)器件的并行處理或多級流水線處理等來達到。特別是多級流水線處理的FFT結構使得基于FPGA器件的FFT處理器完成不同點數的FFT計算時可以通過增減模塊級數很容易地實現。

二、組合數N=r₁r₂點混合基FFT原理
　　計算N點DFT：
　　
　　式中k=0，1，…，N-1。
　　若N=r₁r₂的組合數，可將n(n＜N)表示為
　　
　　式(2)的意義在于，計算組合數N=r1r2點DFT，等價于先求出r?2組r?1點的DFT，其結果經過對應旋轉因子的相位旋轉后，再計算r1組r2點的DFT。實際應用中，DFT往往用它的快速算法FFT實現，因而式(2)中的r1點DFT和r2點DFT都用r1點FFT和r2點FFT實現。

三、可擴展FFT處理器實現結構
　　根據式(2)的FFT算法原理設計FFT處理器的可擴展結構如圖1所示。

　　采用流水線模塊化級聯結構，把FFT處理器劃分成短點數FFT、級間混序RAM和相位旋轉等功能模塊，設計的各功能模塊可以重復利用，通過復用或增減各功能模塊可以靈活改變FFT處理器的計算規(guī)模，而且不增加設計量。在圖1結構中，當L_i＝1時，就演變成了基2 FFT；當L_i＝2時，就演變成了基4 FFT；同理，當L_i≠L_j時，就演變成了高組合數的混合基FFT。

1.短點數FFT陣列結構
　
－Tukey算法結構實現時，有大量的復數乘法實際上轉化為加減運算，所以用陣列結構實現不但具有速度快的優(yōu)點，而且所用器件資源也減少很多，通過對陣列結構短點數FFT進行時分復用，可以提高運算單元的使用效率。

2.相位旋轉運算單元
　　實現短點數FFT級間相位旋轉，采用ROM存儲旋轉因子與數據復乘的傳統(tǒng)方法，不僅涉及乘法運算，而且會消耗大量存儲器資源。

　　利用CORDIC算法實現組合數FFT級間數據的相位旋轉，把乘法轉化成加減法運算，適合FPGA的大規(guī)模集成?？梢栽O計出統(tǒng)一結構的CORDIC處理器模塊，重復利用于不同級間實現相位旋轉，而且其控制邏輯非常簡單。

　　(1)CORDIC算法原理
　　復數P=x+jy旋轉角度θ得到Q的表達式：
　　
　　如果旋轉角度θ可以分解成n個小角度φ_i之和，即：
　　
公式:
　　

　　(2)CORDIC處理器結構設計
　　本文提出了一種流水線CORDIC處理器結構的解決方案。實現式子(4)的迭代運算時采用補碼移位和補碼加減運算，可以減少大量求補運算，其迭代結構如圖2所示。

??

　　
前者在于左移補零的位數的不同，這樣，只需要改變n₀k₀的放大倍數(改變左移低位補零的位數)，就可以把同一方向向量功能模塊級聯到圖1 FFT處理器的不同級間來計算CORDIC處理器的MSB_i，這就大大地減小了重復設計，其迭代結構如圖3所示。

3.RAM結構及其級間數據混序用流水線讀/寫RAM地址發(fā)生器的設計
　　設計的RAM，每個存儲單元為32 bit，高16位為復數的實部，低16位為復數的虛部。輸入輸出數據接口用RAM設計為乒乓結構，用兩塊相同的RAM交替讀出或交替寫入數據，這樣就放寬了對I/O操作速度的要求，使得外圍電路可以不必工作于FPGA系統(tǒng)時鐘。

　　級與級之間數據混序用RAM設計為讀/寫RAM，對RAM同一存儲單元用兩個時鐘完成一次讀/寫操作，即用流水線讀/寫同一塊RAM來實現級與級之間的數據混序。此結構取代了用兩塊RAM完成數據混序的乒乓結構的傳統(tǒng)方法，不涉及存儲器之間的讀寫切換，控制邏輯非常簡單，而且消耗的存儲器資源節(jié)省一半，這是實現結構可靈活擴展的高速FFT處理器的關鍵和難點?？梢酝ㄟ^理論推導，求得第i級FFT與第i-1級FFT級間混序用RAM的奇次讀/寫地址為
　　
　　的基礎上向左循環(huán)移位，位長為L_i-L_i-1位；同時，后者又表示在前者的基礎上向左循環(huán)移位，位長為L_i-L_i-1位，從而形成地址的循環(huán)移位規(guī)律。把L_i-1=L_i和L_i-1L_i兩種情況統(tǒng)一起來，即L_i-1=L_i時，L_i-L_i-1=0，不用循環(huán)移位，只需要計數器的高L_i-1位和低L_i-1位進行交替。利用此地址發(fā)生規(guī)律，可以設計基于圖1結構的基2、基4等任意基x FFT以及混合基FFT級間數據混序用流水線讀/寫RAM地址發(fā)生器。

4.842點組合數FFT處理器的實驗結果及其分析
　　我們利用FPGA實現的各功能模塊按圖1實現結構組裝了842點組合數FFT處理器，通過仿真驗證了其設計的正確性后，又在FPGA實驗板上對它進行了硬件驗證，其實驗驗證平臺如圖4所示。

　　硬件驗證時采取的實驗方法是，用相同的抽樣頻率f_s等間隔地抽取不同頻率單頻正弦信號相同點數64點，即固定FFT的頻率分辨率f_r，利用設計的64點FFT處理器計算其幅度譜，觀察其幅度譜中直流分量譜線和諧波分量譜線間隔大小的變化，把實驗結果和理論分析結果進行對照，以確認FFT處理器工作的正常與否。

　　系統(tǒng)時鐘工作在 40.861 MHz 時，抽樣頻率為 40.861/2=20.4305 MHz，抽樣周期為1/20.4305 MHz=48.9 ns，抽取64個點的時間是48.964＝3.13μs。因為每個采樣數據間隔時間是48.9μs，所以用設計的流水線方式工作的64點FFT處理器計算其幅度譜的譜線間隔也為48.9 ns。當輸入單頻正弦信號的頻率約為638.454 kHz時，其周期為1/638.454 kHz＝1.567μs。用20.4305 MHz頻率抽樣，3.13μs時間內剛好在正弦信號的2個周期內抽取64點，輸入單頻正弦信號的頻率是頻率分辨率319.227 kHz的2倍，直流分量為幅度譜的第1根譜線，一次諧波分量為幅度譜的第3根譜線，其理論計算結果波形如圖5所示，實驗測試結果波形及其的局部放大波形如圖6和圖7所示。

　　從示波器上可以看出，橫坐標單元格間隔為1μs，FFT變換周期間隔約為3格，即約為3μs，抽取了信號波形的2個周期，64點FFT計算時間也約為3μs。

　　輸入單頻正弦信號的頻率是頻率分辨率319.227 kHz的2倍，直流分量為幅度譜的第1根譜線，一次諧波分量為幅度譜的第2根譜線。由于幅度譜的譜線間隔為48.9 ns，也就是說，直流分量和一次諧波分量間隔約為100 ns。從示波器上可以看出，橫坐標單元格間隔為100 ns，直流分量和一次諧波分量間隔約為100 ns，和理論分析結果一致。

四、結論
　　本文以高組合數混合基DFT算法為基礎，設計并用FPGA實現了變換點數可靈活擴展的流水線FFT處理器。輸入/輸出數據速率為20 MHz時，讀/寫RAM工作在40 MHz時鐘，計算出1 024點FFT的運算時間約為52μs。本設計采用模塊化設計結構，便于系統(tǒng)調試和實現，而且各設計模塊可以重復利用，避免重復相同的設計，從而縮短芯片設計開發(fā)時間，更易于FFT處理器的結構擴展。整個FFT設計結構新穎，實現容易，具有一定實用價值。

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