摘要：針對工作在DCM模式下的Buck直流變換器這個離散的、時變的、非線性系統(tǒng)，引入虛擬開關(guān)函數(shù)將一個開關(guān)周期中的三種電路拓撲統(tǒng)一到一組狀態(tài)空間方程中。采用動態(tài)相量法時，合理地選擇了模型中的諧波分量，討論了虛擬開關(guān)占空比的取值，建立了其非線性、大信號、時不變模型。仿真結(jié)果表明，動態(tài)相量模型非常接近于時域模型，為設(shè)計基于大信號模型的性能優(yōu)越控制器提供理論依據(jù)。

　　引言

　　動態(tài)相量法基于頻率分解的思想，希望以傅里葉級數(shù)中極少量的系數(shù)來近似原始時域波形，并以這些時變的復(fù)相量為狀態(tài)變量，來獲得系統(tǒng)化的狀態(tài)空間模型。它已被用于高壓直流輸電HVDC、TCSC、有源濾波器、電力電子變換器等系統(tǒng)建模分析中^[1.2]。

　　對于電力電子變換器這個離散的、時變的、非線性系統(tǒng)，在采用動態(tài)向量法建模時，通常是引入開關(guān)函數(shù)，將其不同開關(guān)狀態(tài)對應(yīng)的電路拓撲統(tǒng)一到一組時域狀態(tài)空間方程中。再作出相應(yīng)變量的復(fù)相量，得到擴大階數(shù)的動態(tài)相量模型。選擇的變量多為電感的電流和電容的電壓，通常保留其傅里葉系數(shù)的直流和基頻分量。對于直流變換器，電感電流存在著CCM(Continuous Conduction Mode)和DCM(Discontinuous Conduction Mode)工作模式。在CCM工作模式下，采用動態(tài)相量法建模時能用一個開關(guān)函數(shù)將一個開關(guān)周期中兩種電路拓撲統(tǒng)一到一組時域狀態(tài)空間方程中去。由于CCM工作模式中電感電流連續(xù)，保留其傅里葉系數(shù)的直流和基頻分量可以近似擬合原始時域曲線。但對于DCM工作模式下，一個開關(guān)函數(shù)無法將一個開關(guān)周期中三種電路拓撲統(tǒng)一到一組狀態(tài)空間方程中，再者電感電流斷續(xù)，其傅里葉級數(shù)頻譜豐富，僅用其直流分量、基頻分量較難近似擬合原時域曲線。

　　為了在DCM工作模式下應(yīng)用動態(tài)相量法對系統(tǒng)進行建模分析，本文以Buck直流變換器為例，在建模時引入虛擬開關(guān)函數(shù)將一個開關(guān)周期中的三種電路拓撲統(tǒng)一到一組方程中。同時為保證模型的準確性，動態(tài)相量模型中保留傅里葉級數(shù)中的直流量、基頻分量和二次分量，建立了Buck直流變換器DCM工作模式下的非線性、大信號、時不變模型。并給出了該模型的仿真結(jié)果。

　　動態(tài)相量法

　　在時域中x(τ)在任一區(qū)間 中的時變傅里葉級數(shù)可表示為^[3]：

　　式中ω_s=2π/T，X_k(t)是時變傅里葉系數(shù)，在動態(tài)相量法中定義為“相量”。不同次數(shù)的相量，可有下式得到：

       (2)

　　式中X_k(t)是時間的函數(shù)，研究的窗(寬度為T)在x(τ)上滑動時，相量就會改變。抓住級數(shù)中重要的項，將這些相量作為狀態(tài)變量，得到系統(tǒng)狀態(tài)空間模型。

　　應(yīng)用動態(tài)相量法有兩個重要特性為：

　　(1)動態(tài)向量的微分特性
　　對于第k階傅里葉系數(shù)，其微分形式滿足：

　　(2)相量乘積特性
　　兩個時域變量乘積的動態(tài)相量等于每個變量所對應(yīng)的動態(tài)向量的離散卷積為：

　　Buck直流變換器的動態(tài)向量法建模

　　Buck變換器電路拓撲

　　Buck變換器電路拓撲如圖1所示，v_in為直流輸入電壓，S₁為開關(guān)，u為輸出電壓，i為電感L的電流。建模時做如下假定：認為S₁為理想開關(guān)，VD為理想二極管;忽略電感和電容的內(nèi)阻。由于變換器工作在DCM模式下，在一個開關(guān)周期內(nèi)，電路有三種拓撲結(jié)構(gòu)如圖2所示。開關(guān)S₁對應(yīng)的開關(guān)函數(shù)q₁波形及電感電流i的波形如圖3所示。當S₁閉合時q₁(t)=1，當S₁斷開時q₁(t)=0。設(shè)電感釋放磁場能的時間為d₂T，T為開關(guān)周期^[4]。