三維矢量散射積分方程中奇異性的分析
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上式就是電場積分方程的主值積分.不難看出式(1)和(11)的區(qū)別僅為：主值積分的積分域不含有奇點，因此可用經(jīng)典函數(shù)論的方法分析其積分值收斂趨勢.于是，阻抗元素計算式(4)可改寫為：
其中r∈sq,Δsself∈{Δs},∑Δs=sq,Δsself
sself=sq∩sp,Δsself→0 (12)
由式(12)可知，在關于場點和源點的面積分中，被積函數(shù)包含了兩項：
(13)
(14)
阻抗矩陣計算式(4)和(12)可分別簡寫為：
(15)
和
(16)
其中r∈sq,Δsself∈{Δs},∑Δs=sq,Δsselfsself=sq∩sp,Δsslef→0.
式(15)，(16)都能用來求解矩陣自阻抗元素.但式(16)對源點使用主值積分，便于數(shù)值分析.兩式中，I1=I′1,I2=I′2.為方便計，選擇其中的I1和I′2.
三、奇異項轉(zhuǎn)移方法
在式(13)中，僅包含弱奇異性的Abel積分核［7］.一般來講，對于這類積分，數(shù)值計算時只要分格越細(不取奇點)，所得的數(shù)值結果就越精確.但計算量增加.若取較少的節(jié)點，則由于被積函數(shù)在奇點附近變化劇烈，導致誤差增大.所以必須尋找一種在數(shù)值計算上實際可行的方案.處理這類奇異積分的方法之一是奇異轉(zhuǎn)移法［1］.本文將這種方法進行了推廣，以便解決式(13)那樣的奇異問題.經(jīng)過簡單的數(shù)學處理，得：
(17)
在上式中，第一項被積函數(shù)在積分域是連續(xù)有限的，因此數(shù)值可積.在第二項積分中，因子f1(r,r)只與場點有關，故可提到積分號外，因此簡化了奇異項以便于使用積分的解析解：
式中R0=
(19)
四、挖除有限小塊法
下面討論I′2的數(shù)值積分.積分項I′2不包含奇點，其被積函數(shù)F2(r,r′)在積分域上是解析的.但在奇點r附近，由于F2(r,r′)隨r′的變化非常劇烈，用一般的數(shù)值求積是很困難的.
用一有限小曲面塊ΔS包圍奇點(ΔSsp)，并設F2(r,r′)的陡變部分在ΔS中.取Δs0=ΔS-Δsself.在實際空間中，Δs0對應于一很小的曲面塊，即Δs01.而在參數(shù)空間中，Δs0則為一很小的矩形塊，其長為Δu1，寬為Δu2，如圖1.這時I′2變?yōu)椋?p align="center">
(20)
式中第一項不含陡變部分，所以可用一般的數(shù)值求積方法計算.第二項不含奇點，可以得到解析結果.
圖1 挖除有很小塊Δs0.(a)參數(shù)空間對應的矩形有限小塊，矩形中點為奇異點(u1,u2);(b)實空間對應的有限小塊Δs0；(c)參數(shù)空間中，奇異點(u1,u2)平移到原點0后，矩形有限小塊的極坐標圖 由式(14)可知，由于含有隨源空間r′變化的幾何因子
在上式中，A(r)為不隨源點變化的因子，而且
當Δs01，有R0≈R.
其中，
把式(26)，(27)代入式(28)，化簡后得I22=0.于是式(20)變成：I′2=I21+0=I21.從上述分析可知，分離的小塊域?qū)Ψe分無貢獻.所以，在實際計算中，可以方便地使用數(shù)值求積方法計算I′2，并令場點等于源點時的積分為零. 相關推薦技術專區(qū) |
和jp(r′)含有的因子1/
(21)
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